\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{dsfont,mathrsfs} %pour les ensembles \N etc et les  cursives
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\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\T}{\textrm}
\newcommand{\e}{\T{e}}
\renewcommand{\S}{\mathscr}
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{ #1} }
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    pdftitle    = {}
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% --- numerotation des enumeration
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%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}}
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%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}}
%\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}

%-----Document de plusieurs colonnes
\usepackage{multicol}
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%\setlength{\columnseprule}{1pt}

%\usepackage{tabvar}
%\usepackage{variations}

%-----Pas de numerotation
%\pagestyle{empty}
%\thispagestyle{empty}

%\usepackage{tabularx}

% exemple de nouvelle commande : \exercice{} avec titre et numerotation automatique
\newcounter{numeroexo}
\newcommand{\exercice}[1]{\vspace{1cm} \par\noindent\refstepcounter{numeroexo}
	\textbf{\begin{large}Exercice \thenumeroexo\end{large} \hspace{0.4cm} #1}\quad}

\geometry{margin=1.5cm} %dvips,landscape,margin=,top=,left=,bottom=,right=
\pagestyle{fancy}
%\lhead{}%tapez un titre
%\lfoot{\}
\cfoot{}
\rhead{\thepage/\pageref*{LastPage}}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}%
\begin{document}\label{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} % a placer apres \begin{document}
cg2018 : pb 1\bigskip

\textbf{Partie A : polynômes de Berstein}

Pour rappel, 
\begin{itemize}
\item $\binom n i = 1$ si $n\geqslant 0$ , $i=0$ ou $n$ , 
\item $\binom n i = \binom{n-1} i + \binom{n-1}{ i-1}$ si $1\leqslant i \leqslant n-1$
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $B_{2,0}(p)=(1-p)^2$ ,\hspace{1cm} $B_{2,1}(p)=2p(1-p)$ ,\hspace{1cm} $B_{2,2}(p)=p^2$
\item $B_{3,0}(p)=(1-p)^3$ ,\hspace{1cm} $B_{3,1}(p)=3p(1-p)^2$ ,\hspace{1cm} $B_{3,2}(p)=3p^2(1-p)$ ,\hspace{1cm} $B_{3,3}(p)=p^3$
\end{enumerate} 
\item 
\begin{enumerate}
\item $B_{n,0}(p)=(1-p)^n$ ,\hspace{1cm} $B_{n,n}(p)=p^n$
\item Dans les conditions énoncées ,

$B_{n,i}(p)=\binom n i p^i(1-p)^{n-i} = \binom{n-1} i p^i(1-p)^{n-i} + \binom{n-1}{ i-1} p^i(1-p)^{n-i} = (1-p) B_{n-1,i}+pB_{n-1,i-1}(p)$
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item $B_{0,0}=1$ ne s'annule pas,
\item pour $n>0$, $B_{n,0}$ s'annule seulement en $1$,
\item pour $n>0$, $B_{n,n}$ s'annule seulement en $0$,
\item pour $1\leqslant i\leqslant n-1$, $B_{n,i}$ s'annule en $0$ si $i=n$.
\end{itemize}
\item sur $[0\,;1]$, $B_{n,i}$ ne prend que des valeurs positives
\end{enumerate}
\item  $B_{n,i}=P(X=i)$ où $X$ est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
\item \begin{itemize}
\item $\sum_{i=0}^n iB_{n,i}(p)=E(X)=np$, 
\item $\sum_{i=0}^n i^2B_{n,i}(p)=E(X^2)=V(X)+(E(X))^2=npq+(np)^2$
\end{itemize}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B : courbes de Bézier}

\begin{enumerate}
\item $\V{OM}=\V{OA}$, la courbe de Bézier de dégré O se réduit au point de contrôle
\item $\V{OM}=(1-p)\V{OA}+p\V{OB}=\V{OA}+p\V{AB} \iff \V{AM}=p\V{AB}$.

la courbe de Bézier de dégré 1 est le segment reliant les 2 points de contrôle
\item \begin{enumerate}
\item $\V{OM}=(1-p)^2\V{OA}+2p(1-p)\V{OB}+p^2\V{OC}$.
\begin{itemize}
\item $A$ est le point associé à la valeur $0$ de $p$, $C$ à la valeur $1$
\item $\begin{array}[t]{ccccc}
\V{BM}&=&\V{BO}&+&\V{OM}\\ 
&=& \big( (1-p)^2+2(p(1-p)+p^2\big)\V{BO}&+&(1-p)^2\V{OA}+2p(1-p)\V{OB}+p^2\V{OC}\\
&=&(1-p)^2\V{BA}+2p(1-p)\V{BB}+p^2\V{BC}
\end{array}
$\medskip


Ce vecteur n'est jamais nul car $p$ et $1-p$ ne sont jamais simultanément nuls et $\V{BA}$ et $\V{BC}$ ne sont pas colinéaires : $B$ n'est pas sur la courbe
\end{itemize}
\item \begin{itemize}
\item Pour $p=1/4$ , $\V{BM}=\frac{9}{16}\V{BA}+\frac{1}{16}\V{BC}$
\item Pour $p=1/2$ , $\V{BM}=\frac{1}{4}\V{BA}+\frac{1}{4}\V{BC}=\frac{1}{2}\V{BB}'$
où $B'$ est le milieu de $[AC]$
\item Pour $p=3/4$ , $\V{BM}=\frac{1}{16}\V{BA}+\frac{9}{16}\V{BC}$
\end{itemize}
\psset{unit=1cm}
\fbox{
\begin{pspicture}(-3,0)(5,6)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-3,0)(5,6)
\pnode(-2,5){A} \pnode(2,1){B} \pnode(4,3){C}
%\psdots(A)(B)(C)
\psRelNode(A)(C){0.5}{I}
\psline[linecolor=gray](B)(I)

\pspolygon[linecolor=gray](A)(B)(C)
\uput[180](A){A} \uput[-90](B){B} \uput[0](C){C} %\uput[0](){} \uput[0](){} 
\uput[90](I){B'}
\parametricplot{0}{1}{
1 t sub 2 exp -2 mul     2 t mul 1 t sub mul 2 mul add   t 2 exp 4 mul add 
1 t sub 2 exp  5 mul     2 t mul 1 t sub mul 1 mul add   t 2 exp 3 mul add}
\parametricplot[plotstyle=dots,plotpoints=5]{0}{1}{
1 t sub 2 exp -2 mul     2 t mul 1 t sub mul 2 mul add   t 2 exp 4 mul add 
1 t sub 2 exp  5 mul     2 t mul 1 t sub mul 1 mul add   t 2 exp 3 mul add}
\end{pspicture}
}
\end{enumerate}
\item Dans le repère $(B,A,C)$,
 l'intérieur du triangle $ABC$ est formé des points dont les corrdonnées vérifient $\left\{ \begin{array}{l}
x\geqslant 0\\
y\geqslant 0\\
x+y\leqslant 1\\
\end{array}\right.$

$M( p^2,(1-p)^2 )$ vérifie ces contraintes :
 $p^2+(1-p)^2\leqslant p^2+2p(1-p)+(1-p)^2=(p+1-p)^2=1$
\item Toujours avec $B'$ milieu de $[AC]$, 

$\begin{array}{lll}
\V{BM}&=&(1-p)^2\V{BA}+p^2\V{BC}\\
&=&(1-p)^2\V{BB'}+(1-p)^2\V{B'A}+p^2\V{BB'}+p^2\V{B'C}\\
&=&\big[(1-p)^2+p^2\big]\V{BB'}+\big[p^2-(1-p)^2\big]\V{B'C}\\
&=&(2p^2-2p+1)\,\V{BB'}+(2p-1)\,\V{B'C}\\
&=&\big[2(p^2-p)+1\big]\V{BB'}+(p-1/2)\,\V{AC}\\
&=&\big[2(p-1/2)^2+1/2\big]\V{BB'}+(p-1/2)\,\V{AC}\\
\end{array}
$

Dans le repère $(B,\V{AC},\V{BB'})$, la courbe de bézier a pour équation $\left\{ \begin{array}{l}
y=2x^2+1/2\\
x \in [-1/2,1/2]
\end{array}\right.$ : c'est un arc de parabole
\end{enumerate}

\end{document}



