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	\textbf{\begin{large}Exercice \thenumeroexo\end{large} \hspace{0.4cm} #1}\quad}

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\cfoot{}
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\begin{document}\label{document}
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cg2018 : pb 2\bigskip

\textbf{Partie A}\bigskip

\begin{enumerate}
\item Avec des notations naturelles :

$(\S P)$ se traduit par le système $\left\{
\begin{array}{l}
2b=a+c\\ c=b
\end{array}\right.
\iff c=b=a$

\item \begin{enumerate}
\item Cette fois :

$\begin{array}{lllll}
(\S P) 
&\iff& 
\left\{
\begin{array}{lll}
2b=a+c\\2c=b+d\\2d=c+e
\end{array}\right.
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
2b&=&a+c\\4c&=&(a+c)+(c+e)\\2d&=&c+e
\end{array}\right.\\
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
4b&=&2a+a+e\\2c&=&a+e\\4d&=&a+e+2e
\end{array}\right.
&\iff& 
\left\{
\begin{array}{lll}
b&=&(3a+e)/4\\c&=&(a+e)/2\\d&=&(a+3e)/4
\end{array}\right.
\end{array}
$

\item
$\begin{array}[t]{lllll}
(\S P) 
&\iff& 
\left\{
\begin{array}{lll}
2b&=&a+c\\3c&=&b+d+e\\3d&=&a+c+e
\end{array}\right.
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
2b&=&a+c\\18c&=&3(a+c)+2(a+c+e)+6e\\3d&=&a+c+e
\end{array}\right.\\
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
26b&=&13a+(5a+8e)\\13c&=&5a+8e\\39d&=&13a+(5a+8e)+13e
\end{array}\right.
&\iff& 
\left\{
\begin{array}{lll}
b&=&(18a+8)/26\\c&=&(5a+8e)/13\\d&=&(18a+21e)/39
\end{array}\right.
\end{array}
$
\item
$\begin{array}[t]{lllll}
(\S P) 
&\iff& 
\left\{
\begin{array}{lll}
4b&=&a+c+d+e\\4c&=&a+b+d+e\\4d&=&a+b+c+e
\end{array}\right.
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
5b&=&a+b+c+d+e\\5c&=&a+b+c+d+e\\5d&=&a+b+c+d+e
\end{array}\right.\\
&\iff&
\left\{
\begin{array}{lll}
b=c=d=s/5\\5a+5b+5c+5d+5e&=&3s+5a+5e
\end{array}\right.
&\iff& 
b=c=d=(a+e)/2\end{array}
$
\end{enumerate}
\item Je note $E_n$ la liste des entiers de 1 à $n$ et, pour tout $i$ de $E_n$ , $x_i$ le nombre attribué à $P_i$

$(\S P) \iff 
\forall i \in E_n , (n+1)x_i =a+\sum_{k\neq i}x_k+b 
\iff 
\left\{\begin{array}{l}
s= \sum_{k \in E_n}x_k\\ \forall i \in E_n , (n+2)x_i= a+b+s
\end{array}\right.$

Par addition 
$(\S P) \iff \left\{\begin{array}{l}
s= \sum_{k \in E_n}x_k\\ \forall i \in E_n , (n+2)x_i= a+b+s\\(n+2)s = n(a+b+s)
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
s= \sum_{k \in E_n}x_k=n(a+b)/2\\ \forall i \in E_n , (n+2)x_i= \frac{2(a+b)+n(a+b)}{2}
\end{array}\right.$

Finalement $(\S P) \iff  \forall i \in E_n , x_i= \frac{a+b}{2}$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\medskip

\textbf{Existence d'une solution}\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item
Je procède par récurrence en notant $V(M)$ l'ensemble des voisins de $M$
\begin{itemize}
 \item Hérédité
 
 Si pour $n \in \N$, on a $0\leqslant  f_n(M) \leqslant f_{n+1}(M)\leqslant K$ pour tout $M \in \S S$
 
alors pour $M \in \S J , 0\leqslant f_n(M)=f_{n+1}(M)\leqslant k$ et pour $M \in \S B$ : 

 $\begin{array}{ccccccc}
0 &\leqslant& \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M]}{f_n(P)}&\leqslant&\frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M]}{f_{n+1}(P) }&\leqslant& \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M]}{K} \\
0 &\leqslant& f_{n+1}(M)&\leqslant&f_{n+2}(M)&\leqslant& \frac{1}{d(M)}\, d(M)\;{K} \\
 \end{array}$
 
 \item Initialisation
 
si $M$ est jaune, $0\leqslant f_0(M)=f_1(M)\leqslant K$, 

sinon $0=f_0(M)\leqslant  \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}{f_0(P)}\leqslant {d(M)}\sum_{P \in V(M)}{K}=K$
 \end{itemize} 
\item $\forall M \in \S S$, $(f_n(M))$ est croissante et majorée donc converge. Soit $f(M)=\lim_{n\to +\infty} f_n(M)$.

\begin{itemize}
 \item si $M$ est jaune , $f(M)=k(M)$ car $(f_n(M))$ est constante
 \item si $M$ est bleu, 
 
 $f(M)=\lim_{n \to +\infty} f_{n+1}(M)=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)} f_n(P)=\frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)} \lim_{n \to +\infty} f_n(P)=\frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)} f(P)$
 \end{itemize} 
$f$ est une solution pour l'attribution $k$.
\end{enumerate}
\item $f$ est une solution pour l'attribution de $k$ et $\alpha$ est une constante.

$\left\{ \begin{array}{l}
f(M)=k(M) \T{ si $M$ est jaune,}\\
f(M)= \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}f(P) \T{ si $M$ est bleu}
\end{array}\right.$ donne $\left\{ \begin{array}{l}
f(M)+\alpha=k(M)+\alpha \T{ si $M$ est jaune,}\\
f(M)+\alpha= \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}\left(f(P)+\alpha\right) \T{ si $M$ est bleu}
\end{array}\right.$
\item Je note $K_0$ le plus petit des nombres $k(M)$ lorsque $M$ décrit $\S J$

On obtient la solution en appliquant 1. à l'attribution $k-K_0$ puis  2. avec $\alpha = K_0$\medskip

Remarque. On pouvait aussi traiter directement la question 1 sans la condition << $k(M)\geqslant 0$ pour tout $M \in \S J$ >> en choisissant $f_0(M)=K_0$ pour tout $M \in \S B$ et en démontrant que pour tout $M$, $K_0\leqslant f_n(M)\leqslant f_{n+1}(M)\leqslant K$\bigskip

\hspace{-1cm}\textbf{Unicité de la solution}\medskip

\item Soit $M_0$ un point où $f$ atteint son maximum sur $\S B$.

$\begin{array}{lll}
f(M_0)=\frac{1}{d(M_0)}\sum_{P \in V(M_0)}f(P) &\Rightarrow &\sum_{P \in V(M_0)}\big((f(M_0)-f(P)\big)
=0 \\
&\Rightarrow& \sum_{P \in V(M_0)\cap \S J}\big((f(P)-f(M_0)\big)=\sum_{P \in V(M_0)\cap \S B}\big((f(M_0)-f(P)\big)
\end{array}
$ 

Or $\sum_{P \in V(M_0)\cap \S B}\big(f(M_0)-f(P)\big)\geqslant 0$ donc
\begin{itemize}
\item si $ V(M_0)\cap B \neq \varnothing $, au moins un des $f(P)-f(M_0)$ avec $P\in V(M_0)\cap \S J$ est positif ou nul et $f(M_0)\leqslant K$
\item si $ V(M_0)\cap B = \varnothing $, tous les $f(M_0)-f(P)$ avec $P\in V(M_0) \cap \S B$ sont nuls car tous supérieurs ou égaux à 0 et de somme nulle.

On peut alors suivre un chemin où les $f(M)$ sont tous égaux à $f(M_0)$ jusqu'à atteindre un point de $\S B$ pour lequel $ V(M_0)\cap B \neq \varnothing $
\end{itemize}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $M \in \S B$

$f(M)= \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}f(P)$ et $g(M)= \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}g(P)$

donc $f(M)-g(M)= \frac{1}{d(M)}\sum_{P \in V(M)}\big(f(P)-g(P)\big)$
\item Pour tout $M \in \S J$ , $f(M)=k(M)$ et $g(M)=k(M)$ donc $f(M)-g(M)=0$
\item $f-g$ mais aussi $g-f$ sont des attributions de $0$ donc $f-g\leqslant 0$ et $g-f\leqslant 0$ et finalement $f=g$
\end{enumerate}
\item S'il y a un seul point jaune $J$, 
\begin{itemize}
\item $f(J)=K$ et pour tout $M\in \S S$ , $f(M)\leqslant K$,
\item $-f$ est l'attribution de $-k$ donc pour tout $M\in \S S$ , $-f(M)\leqslant -K$
\item $f$ est donc constante.
\end{itemize}


\end{enumerate}

\end{document}

