\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % encodage du fichier source
\usepackage[T1]{fontenc} % utilisation des polices vectorielles dans le pdf (copier-coller)
\usepackage{lmodern} %plus joli 
%\usepackage[urw-garamond]{mathdesign}
%\usepackage{pifont} %ciseau"ding{33} .... ding{36}", telephone ...
%\usepackage{multirow}% pour grouper des lignes dans un tableaux
%\usepackage{eurosym} %pour \euro

% --- graphiques pstricks et images 
\usepackage{pst-all,pst-3dplot,pst-eucl}
\usepackage{graphicx}

% ===== doubler l'interligne ======
\usepackage{setspace}          
%	\doublespacing 
\onehalfspacing						

% --- mise en page
\usepackage{geometry}  
\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\parindent}{0pt} % pas d'intentation des paragraphes
%\usepackage{lscape} permet d'utiliser \begin{landscape}... : pour une seule page en paysage


% --- pour les guillemets francais \og \fg ... http://daniel.flipo.free.fr/frenchb/frenchb2-doc.pdf
\usepackage[frenchb]{babel}
%\frenchbsetup{CompactItemize=false,ReduceListSpacing=false}
%\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} % a placer apres \begin{document}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}

% --- pour les formules
\usepackage{amsmath} % symboles mathematiques et outils (exemple \text)
\usepackage{amssymb} % autres symboles, par exemple \geqslant
\usepackage{dsfont,mathrsfs} %pour les ensembles \N etc et les  cursives
\usepackage{stmaryrd} % \llbracket, \rrbracket et \sslash (parallele)
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\T}{\textrm}
\newcommand{\e}{\T{e}}
\renewcommand{\S}{\mathscr}
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{ \T{#1} } }
%\renewcommand{\i}{\,\T i} vient trop tot voir la fin 
\everymath{\displaystyle} % sinon formules rabougries
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% --- en-tete et pied de page
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\usepackage{fancyhdr} % gestion de l'en-tete et pied de page
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%\cfoot{}
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% --- pour le titre de la fenetre de l'afficheur pdf
\usepackage[dvips,ps2pdf,colorlinks=true]{hyperref}
%\usepackage[a4paper=true,ps2pdf=true,pagebackref=true]{hyperref}
\hypersetup{ % Modifiez la valeur des champs suivants
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% --- numerotation des sections
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% --- numerotation des enumeration
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%\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}

%-----Document de plusieurs colonnes
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%\usepackage{tabvar}
%\usepackage{variations}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{colortbl}

%-----Pas de numerotation
%\pagestyle{empty}
%\thispagestyle{empty}

%\usepackage{tabularx}

% exemple de nouvelle commande : \exercice{} avec titre et numerotation automatique
\newcounter{numeroexo}
\newcommand{\exercice}[1]{\vspace{0.5cm} \par\noindent\refstepcounter{numeroexo}
	\textbf{\begin{large}Exercice \thenumeroexo\end{large} \hspace{0.4cm} #1}\quad}

\geometry{margin=1cm,bottom=1.7cm} %dvips,landscape,margin=,top=,left=,bottom=,right=
\begin{document}\label{document}
%\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} % a placer apres \begin{document}
Prépa CG 2017. L'épreuve est le mercredi 15 mars 2017\medskip

\fbox{\textbf{Lundi 27 février 2017}}

\exercice{}

Dans une classe de 30 élèves quelle est la probabilité qu'il existe 2 élèves ayant le même jours d'anniversaire (on ne tient pas compte des années bissextiles) Penser à l'évènement contraire

\exercice{}

Quel est le nombre maximum $u_n$ de régions qu'on peut délimiter avec $n$ droites dans le plan ? Trouver une formule de récurrence puis une formule explicite en fonction de $n$

\exercice{}

Soit $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ des nombres de l'intervalle $[0\,;1]$

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $x(1-x)$ sur $[0\,;1]$
\item Démontrer qu'on a $x_1\, x_2\, \dots\, x_n \leqslant \frac{1}{2^n}$ ou 
$(1-x_1)(1- x_2)\, \dots\, (1-x_n) \leqslant \frac{1}{2^n}$
\end{enumerate}


\fbox{\textbf{Lundi 6 mars 2017}}

\exercice{2013 exo 2(espace)}\medskip

\textbf{Tiré à quatre épingles}

\begin{enumerate}
\item Dans l’espace, soit $\S D_1$, $\S  D_2$ deux droites non coplanaires et soit $M$ un point n’appartenant ni à $\S D_1$ ni à $\S D_2$. Montrer qu’il existe au plus une droite passant par $M$ et coupant à la fois $\S D_1$ et $\S D_2$. Dans quel cas n’en existe-t-il aucune ?

\hspace{-0.5cm}
\begin{minipage}{\linewidth}
L’espace étant muni d’un repère orthonormé, soit $ABCDEFGH$ le cube dont les sommets ont pour coordonnées $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $E(0, 0, 1)$, $F(1, 0, 1)$, $G(1, 1, 1)$, $H(0, 1, 1)$. 

Soit respectivement  $\S D_1$, $\S D_2$ et $\S D_3$ les droites $(EF)$, $(BC)$ et $(DH)$.

Enfin, soit $\S  S$ la partie de l'espace d’équation ~ $xy + yz + zx -  (x + y + z) + 1 = 0$
\end{minipage}
\item  Donner une représentation paramétrique de chacune des droites $\S D_1$, $\S D_2$ et $\S D_3$.

\item  Montrer que les droites $\S D_1$, $\S D_2$ et $\S D_3$ sont incluses dans $\S S$ .

\item Montrer que toute droite de l’espace non incluse dans $\S S$ rencontre $\S S$ en 0, 1 ou 2 points.

\item  En déduire que toute droite coupant les droites $\S D_1$, $\S D_2$ et $\S D_3$ est incluse dans $\S S$ .

\item  Soit $\S D_4$ une droite qui ne rencontre aucune des droites $\S D_1$, $\S D_2$, $\S D_3$ et qui n’est pas incluse dans $\S S$ .

Montrer qu’il existe au plus deux droites de l’espace coupant les quatre droites $\S D_1$, $\S D_2$, $\S D_3$ et $\S D_4$.
\end{enumerate}


%\exercice{}
\fbox{\textbf{Lundi 13 mars 2017}}

\exercice{}

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la droite d'équation $ax + by + c = 0$ soit tangente à la parabole d'équation $y = x^ 2$ .

\exercice{1994 fonction}Rq : $x^x$ se définit par $x^x=\e^{\ln(x^x)}=\e^{x\,\ln x}$

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ strictement positif, par $f (x) = x^x$ . 


Déterminer la valeur minimale prise par cette fonction lorsque $x$ décrit l'ensemble des réels strictement positifs.
\item Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Montrer que
$x^ y + y^ x > 1$
\end{enumerate}


\exercice{2014 pb 3 : arithmétique}\medskip

\textbf{Des chiffres pour des Lettres}

Un mot de longueur $n$ est une suite de $n$ lettres choisies parmi les 10 lettres $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$.

Par exemple, $BEC$, $IJCD$, $AFFICHAGE$, $ABCDEFGHII$ sont des mots de longueurs respectives 3, 4, 9, 10.

Une \textit{attribution} du mot $\omega$ est un nombre dont l'écriture décimale est obtenue en remplaçant chaque lettre

de $\omega$ par un des chiffres O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de sorte que des lettres identiques sont remplacées par le même chiffre et que deux lettres distinctes sont remplacées par des chiffres différents. Il est permis que le premier chiffre de l'attribution soit égal à 0. Par exemple, 121 et $040 = 40$ sont deux attributions pour le mot $GAG$, mais 333 et 452 n'en sont pas ; 555 et $000 = 0$ sont des attributions de $AAA$, mais pas 112 ou 789.

Soit $d$ un entier strictement positif. On dit que le mot $\omega$ est un bloqueur de $d$ si toute attribution de $\omega$ est un nombre non divisible par $d$. Ainsi le mot $\omega  = AABCA$ n'est pas un bloqueur de $d = 4$, car 66716 est une
attribution de $\omega$ qui est divisible par 4.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le mot $AB$ est un bloqueur de $d = 100$.

\item Montrer que tout nombre d'au moins trois chiffres admet un bloqueur.
\end{enumerate}

Le nombre $d > 0$ est dit \textit{mauvais} s'il admet au moins un bloqueur. Sinon, on dit que $d$ est bon. La question précédente montre que tout nombre d'au moins trois chiffres est mauvais.

\item\begin{enumerate}
\item  Montrer que 10 est bon.
\item Montrer que 8 est bon.
\item Montrer que le mot $AAB$ est un bloqueur de 27.
\item Montrer que le mot $ABBAB$ est un bloqueur de 32.
\item Un diviseur positif d'un nombre bon est-il forcément bon ? 

Un diviseur positif d'un nombre mauvais est-il forcément mauvais ?
\end{enumerate}
Si $k$ est un entier strictement positif  et si $X$ est une lettre, on note $X^k$ le mot $XX\dots X$ formé de $k$ lettres $X$.
\item \begin{enumerate}
\item Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à 7 et soit $\omega$ le mot défini par :

$\omega  = AAA^{p-2}BA^{p-2}CA^{p-2}DA^{p-2} EAp^{-2}FA^{p-2}GA^{p-2}HA^{p-2}IA^{p-2}JA^{p-2}$

Montrer que $\omega$ est un bloqueur de $p$.

On pourra utiliser librement le petit théorème de Fermat : si $x$ est un entier non divisible par $p$,
alors $p$ divise $x^{p-1} -1$.

\item Montrer qu'il existe au plus 27 nombres bons.
\end{enumerate}
\item Soit $\omega$ un mot de longueur $n$, et $a$ une attribution de $\omega$.

On note $a'$ l'attribution de $\omega$ obtenue à partir de $a$ en permutant circulairement, dans cet ordre, les chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8 sans toucher aux 9 : autrement dit, dans l'écriture décimale de $a$, les chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sont respectivement remplacés par 1,2,3,4,5,6,7,8,0,9. Par exemple, si
$n=5$ et $a=01789$,alors $a'= 12809$.

Soit $k$ le nombre d'apparitions du chiffre 9 dans l'écriture décimale de $a$.
\begin{enumerate}
\item Si $a$ est congru à $r$ modulo 9, à quoi est congru $a'$ modulo 9?
\item En déduire que si $k$ n'est pas congru à $n$ modulo 3, alors il existe une attribution de $\omega$ divisible par 9.
\item Montrer qu'il en est de même si $k$ est congru à $n$ modulo 3, mais pas modulo 9.

\item Montrer que 9 est bon.
\end{enumerate}

\item Montrer que lB est bon.

\item Montrer que si un nombre est mauvais, il admet une inflnité de bloqueurs.

\end{enumerate}

\textit{Pour information, on peut montrer qu'il existe exactement 22 nombres bons. Ce sont les diviseurs positifs des nombres 18,24, 45, 50,60, 80.
}
\end{document}

cg2007 exo 1 ?